konvers,invers,dan kontraposisi

file:///C:/Users/acer/Downloads/logika-matematika.doc

Bab III

Konvers, Invers, dan Kontraposisi Suatu Implikasi

A.   Pengertian dan Contohnya

Perhatikan pernyataan berikut ini:

Jika suatu bilangan asli berangka satuan 0 maka bilangan tersebut habis dibagi 5.

Bentuk umum suatu implikasi adalah:

p Þ q

Pada contoh di atas:

            p : Bilangan asli berangka satuan 0

            q : Bilangan asli yang habis dibagi 5.

Dari implikasi p Þ q di atas, dapat dibentuk tiga implikasi lainnya, yaitu:

Konversnya, dengan notasi q Þ p

Inversnya, dengan notasi ~p Þ ~q

Kontraposisinya, dengan notasi ~q Þ ~p

Dengan demikian; konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi: “Jika suatu bilangan asli berangka satuan 0 maka bilangan tersebut habis dibagi 5,” berturut-turut adalah:

1.    Konvers: Jika suatu bilangan asli habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut berangka satuan 0 (q Þ p).

2.    Invers: Jika suatu bilangan asli tidak berangka satuan 0 maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 5 (~p Þ ~q).

3.    Kontraposisi: Jika suatu bilangan asli tidak habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut tidak berangka satuan 0 (~q Þ ~p).

Berdasar penjelasan di atas, jawablah pertanyaan berikut:

1.    Tentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.

2.    Hal menarik apa saja yang Anda dapatkan dari kegiatan di atas?

Berhentilah membaca naskah ini, cobalah untuk menjawab pertanyaan di atas dahulu. Jawaban pertanyaan di atas adalah sebagai berikut:

1.    Nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.

a.    Untuk menentukan nilai kebenaran dari implikasi: “Jika suatu bilangan asli berangka satuan 0 maka bilangan tersebut habis dibagi 5,” yang perlu diperhatikan adalah implikasi di atas bernilai sama dengan pernyataan berkuantor: “Semua/setiap bilangan asli yang berangka satuan 0 mesti habis dibagi 5.” Implikasi ini bernilai benar, karena semua/setiap bilangan asli yang berangka satuan 0 akan selalu habis dibagi 5.

b.    Nilai kebenaran konversnya, dalam bentuk q Þ p, yaitu: “Jika suatu bilangan asli habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut berangka satuan 0,” yang ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bilangan asli yang habis dibagi 5 akan selalu berangka satuan 0.”

Pernyataan terakhir ini bernilai salah karena dapat ditunjukkan adanya bilangan asli yang habis dibagi 5 namun bilangan asli tersebut tidak berangka satuan 0, seperti 5, 15, 25, 35, maupun 1005.

c.    Nilai kebenaran inversnya, dalam bentuk ~p Þ ~q, yaitu: “Jika suatu bilangan asli tidak berangka satuan 0 maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 5.” Sekali lagi, pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bilangan asli yang tidak berangka satuan 0 tidak akan habis dibagi 5.” Pernyataan ini jelas bernilai salah karena dapat ditunjukkan adanya bilangan asli yang tidak berangka satuan 0 yang habis dibagi 5, yaitu 5, 15, 25, 35, maupun 1005.

d.    .Nilai kebenaran kontraposisinya, dalam bentuk ~q Þ ~p, yaitu: “Jika suatu bilangan asli tidak habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut tidak berangka satuan 0.” Pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bilangan asli yang tidak habis dibagi 5 akan selalu tidak berangka satuan 0.” Pernyataan seperti ini jelas bernilai benar. Contohnya 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, ... yang tidak habis dibagi 5 yang selalu tidak berangka satuan 0.

2.    Dari soal di atas nampaklah bahwa nilai kebenaran dari implikasi serta kontraposisinya adalah sama, sedangkan nilai kebenaran konvers adalah sama dengan inversnya.

B.   Ingkaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisinya.

Tentukan ingkaran atau negasi dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi: “Jika suatu bilangan asli berangka satuan 0 maka bilangan tersebut habis dibagi 5.”  Untuk menjawab pertanyaan tadi ataupun untuk menentukan negasi atau ingkaran konvers, invers, dan kontraposisi maka pengetahuan tentang negasi yang sudah dibahas di bagian depan sangat penting dan menentukan, terutama pengetahuan untuk menentukan negasi atau ingkaran soal nomor 1 s.d. 3 di bawah ini.

1. p Ù q
2. p Ú q
3. p Þ q
4. q Þ p
5. ~p Þ ~q
6. ~q Þ ~p

Sebagai pengecek, bandingkan hasil yang Anda dapatkan dengan jawaban di bawah ini.

1.    ~p Ú ~q

2.    ~p Ù ~q

3.    p Ù ~q

4.    q Ù ~p

5.    ~p Ù q

6.    ~q Ù p

Dengan demikian, dari implikasi p Þ q: “Jika suatu bilangan asli berangka satuan 0 maka bilangan tersebut habis dibagi 5”; akan didapat ingkaran atau negasi dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi di atas adalah:

1.    Negasi dari implikasi p Þ q adalah p Ù ~q, yaitu: Terdapat bilangan asli berangka satuan 0 namun bilangan asli tersebut tidak habis dibagi 5.

2.    Negasi konvers q Þ p adalah q Ù ~p, yaitu: Terdapat bilangan asli yang habis dibagi 5 yang angka satuannya bukan 0.

3.    Negasi invers ~p Þ ~q adalah ~p Ù q, yaitu: Terdapat bilangan asli tidak berangka satuan 0 yang habis dibagi 5.

4.    Negasi kontraposisi ~q Þ ~p adalah ~q Ù p, yaitu: Terdapat bilangan asli tidak habis dibagi 5 yang berangka satuan 0.

 

Latihan 3.1

1.    Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut:

a.    Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera tersebut.

b.    Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.

c.     Jika dua persegipanjang kongruen maka luasnya sama

d.    Jika segitiga ABC adalah segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama panjang.

e.    a > 0 Þ a³ > 0

f.      a = 0 Þ ab = 0

g.    .x = 3 Þ x² = 9

2.    Tentukan nilai kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dari soal di atas.

3.    Hal menarik apa saja yang Anda dapatkan dari hasil kegiatan 2 itu?

4.    Buatlah ingkaran dari implikasi, beserta konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut ini.

a.    Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera tersebut.

b.    Jika dua persegipanjang kongruen maka luasnya sama.

c.     Jika segitiga ABC adalah segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama panjang.

d.    a > 0 Þ a³ > 0

e.    a = 0 Þ ab = 0

f.      x = –5 Þ x² = 25

5.    Hal menarik apa saja yang Anda dapatkan dari hasil kegiatan 4 itu?